实时渲染中的菲涅尔效应
光线追踪中使用的菲涅尔效应公式由平行项 r_{\parallel} 和垂直项 r_{\perp} 组成，而且针对绝缘体和导体的公式又不相同，计算非常复杂。用于实时渲染必须进行简化。
菲涅尔效应
实际上，菲涅尔效应描述了光线的角度和光线反射率的关系。如果视线和法线夹角越大，眼睛接收到的反射光线能量越大；反之，夹角越小，接收到的能量越小。如下图所示：
菲涅尔效应实现
在实时渲染中，会使用菲涅尔方程的估计公式。目前使用的比较多的公式有两个，它们都可以非常方便地应用到着色器中。
Schlick 估计
Schlick 在 1994 年发表了论文 An Inexpensive BRDF Model for Physically-Based Rendering。这篇论文推导了一个估计公式，可以很好地模拟菲涅尔效应又不需要花费太多计算。由于计算力的提升，光线追踪渲染中的菲涅尔项计算被更精确的 Cook-Torrance 项替代。后来这个公式随着物理渲染被引入到实时渲染中。
Schlick 近似的 Fresnel 项是：\displaystyle F_{Schlick}(c_{spec},v,h)=c_{spec} + (1-c_{spec})(1-(v\cdot h))^5 在上面的公式中，c_{spec} 表示着色点高亮的颜色，v 表示入射光线，由着色点指向相机，h 表示半角向量，定义为入射向量和反射向量的中间向量 h=normalize(v+l)。如果没有应用微面元模型，则有半角向量等于法向量 h=n。实际上，h 向量的意义就是在微面元模型下替代法向量的作用，本文不再赘述。下图为微面元模型图示：
代码的实现也非常简单：
float dotVH = saturate(dot(v, h))
FresnelTerm = SpecularColor + (1.0f - SpecularColor) * pow(1 - dotVH, 5);
实际上，上述公式往往会使用 Spherical Gaussian 进行优化，替换掉效率低的 pow 函数，可以更好地使用硬件加速。这是另外一个话题。
Nvidia 提出的估计
第二个公式时间更久远些，出自 Nvidia 公司出版书 Cg Tutorial 的第七章，也是一个经验公式。
定义如下：\displaystyle F=bias+(1-v\cdot n)^{power}*scale 在上式中，v 表示视线，n 表示法向量。bias 和 scale 则要根据经验和渲染结果来调整，bias 代表最小的阈值，scale 调节最大值，power 则调节主瓣的宽度，power 越大，fresnel 衰减得越快。
代码实现如下所示：
float my_fresnel(vec3 V, vec3 N, float power, float scale, float bias)
{
return bias + (pow(clamp(1.0 - dot(V, N), 0.0, 1.0), power) * scale);
}
言简意赅